已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD．

Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，
求证：EF=FD．

Answer 1

证明：过E作EG丄AB于G，如图，
∵△ABE为等边三角形，
∴BG=(1)/(2)AB，∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，AE=AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=(1)/(2)AB，
∴AG=BC，
在Rt△EAG和Rt△ABC中

AE＝AB

AG＝BC

，
∴Rt△EAG≌Rt△ABC（HL），
∴EG=AC，
∵△DAC为等边三角形，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
∴EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°，
在Rt△EFG和Rt△DFA中

EG＝DA

∠EFG＝∠DFA

∠EGF＝∠DAF

，
∴△EFG≌△DFA，
∴EF=FD．