一条质量分布均匀的绳子,质量为M、长度为L,一端拴在竖直转轴上,并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为r处绳中的张力T(r)

Question

一条质量分布均匀的绳子,质量为M、长度为L,一端拴在竖直转轴上,并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为r处绳中的张力T( r)

Answer 1

设 r 处的拉力为T,则r+dr处的拉力为 T+dT ,对dr的小线元分析,受合力为 T-(T+dT)= -dT,
对此微元用向心力公式：
-dT=(Mdr/L)ω^2 *r
对上式积分,得
-T=M(ωr)^2/(2L)+T0
其中T0是积分常数,当r=L时,T=0,代入上式,解得
T0= -MLω^2/2
所以
T=MLω^2/2-M(ωr)^2/(2L)
=(L^2-r^2)Mω^2/(2L)
r处的拉力为T,T拉住质量为M(L-r)/L的绳子,这部分绳子质心的圆周运动半径为
r+(L-r)/2=(L+r)/2,因此由向心力公式
T=M(L-r)/L *(ω^2) *(L+r)/2=(L^2-r^2)Mω^2/(2L)