已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx图象在点（1，1）处的切线方程为l：2x-y-1=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程2mf（x）=x2（m>0）有唯一实数解，求m的值．

Question

已知函数f（x）=lnx-(1)/(2)ax²-bx图象在点（1，1）处的切线方程为l：2x-y-1=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程2mf（x）=x²（m>0）有唯一实数解，求m的值．

Answer 1

（1）当x=1时，f（1）=-(1)/(2)a-b=1．
∵f′（x）=(1)/(x)-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．
则f（x）=lnx+x；
（2）∵方程2mf（x）=x²（m>0）有唯一实数解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′（x）=(2x2-2mx-2m)/(x)．
令g′（x）=0，则2x²-2mx-2m=0．
∵m>0，∴△=4m²+16m>0，方程有两异号根，设为x₁<0，x₂>0，
∵x>0，∴x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）<0，g（x）在（0，x₂）上单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）>0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
则

g(x2)=0

g′(x2)=0

，即

x22-2mlnx2-2mx2=0

2x22-2mx2-2m=0

．
∵m>0，∴2lnx₂+x₂-1=0．①
设函数h（x）=2lnx+x-1．
∵当x>0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解为x₂=1．
代入方程组解得m=(1)/(2)．