已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞xex

Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-6．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞(x)/(ex)−(2)/(e)成立．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，
当x∈（0，(1)/(e)）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈((1)/(e)，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=(1)/(e)时，f（x）_min=f（(1)/(e)）=-(1)/(e)．
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx≥-x²+ax-6恒成立，
即a≤lnx+x+(6)/(x)对x∈（0，+∞）恒成立，
设h（x）=lnx+x+(6)/(x)，
则h′(x)＝(1)/(x)+1−(6)/(x2)=(x2+x−6)/(x2)=((x+3)(x−2))/(x2)，
∵x∈（0，+∞），∴x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（2，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴x∈（0，+∞）时，h（x）存在唯一极小值h（2），即为最小值，
∴h（x）_min=h（2）=5+ln2，
∵a≤lnx+x+(6)/(x)对x∈（0，+∞）恒成立，只需a≤h（x）_min即可，
∴a≤5+ln2．
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞(x)/(ex)−(2)/(e)恒成立，
由（Ⅰ）可知，f（x）=xlnx在x∈（0，+∞）时，
当且仅当x=(1)/(e)时，f（x）_min=f（(1)/(e)）=-(1)/(e)，
设m（x）=(x)/(ex)-(2)/(e)，x∈（0，+∞），则m′（x）=(1−x)/(ex)，
∴x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．
∴当且仅当x=1时，m（x）取得极大值也是最大值m（1），
∴m（x）_max=m（1）=-(1)/(e)，
∴(1)/(e)≠1，
∴对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞(x)/(ex)−(2)/(e)成立．