已知复数z满足z+2i、z2-i均为实数，且复数（z+xi）2在复平面上对应的点在第一象限．（1）求复数z；（2）求实数x的取值范围．

Question

已知复数z满足z+2i、(z)/(2-i)均为实数，且复数（z+xi）²在复平面上对应的点在第一象限．
（1）求复数z；   
（2）求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）复数z满足z+2i、(z)/(2-i)均为实数，设z=x+yi（x，y∈R），
又z+2i=x+（y+2）i，且为实数，∴y+2=0，解得y=-2．
∴(z)/(2-i)=(x-2i)/(2-i)=((x-2i)(2+i))/((2-i)(2+i))=(2x+2)/(5)+(x-4)/(5)i，
∵(z)/(2-i)为实数，∴(x-4)/(5)=0，解得x=4．
∴z=4-2i
（2）∵复数（z+xi）²=[4+（x-2）i]²=16-（x-2）²+8（x-2）i=（12+4x-x²）+（8x-16）i，
∴

12+4x-x2>0

8x-16>0

，解得2<x<6．
即实数x的取值范围是（2，6）．