若满足方程：x2+y2-2（t+3）x+2（1-4t2）y+16t2+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）�若满足方程：x2+y2-2（t+3）x+2（1-4t2）y+16t2+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范

Question

若满足方程：x2+y2-2（t+3）x+2（1-4t2）y+16t2+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）�
若满足方程：x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t²+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程；
（3）若点P（3，4t²）恒在所给的圆内，求t的取值范围．

Answer 1

（1）已知方程可化为：
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t⁴-9
∴r²=-7t²+6t+1＞0，即7t²-6t-1＜0，
解得-(1)/(7)＜t＜1，
t的取值范围是（-(1)/(7)，1）．
（2）r=√(?7t2+6t+1)=√(?7(t?(3)/(7))2+(16)/(7))，
当t=(3)/(7)∈（-(1)/(7)，1）时，
r_max=(4√(7))/(7)，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x-(24)/(7)）²+（y+(13)/(49)）²=(16)/(7)．
（3）圆心的坐标为（t+3，4t²-1）．
半径 r²=（t+3）²+（1-4t²）²-（16t⁴+9）=-7t²+6t+1
∵点P恒在所给圆内，
∴（t+3-3）²+（4t²-1-4t²）²＜-7t²+6t+1，
即4t²-3t＜0，
解得0＜t＜(3)/(4)．