将函数f（x）=x2在[-π，π]上展开成傅立叶级数，并求∞n＝11n2．

Question

将函数f（x）=x²在[-π，π]上展开成傅立叶级数，并求

∞

n＝1

(1)/(n2)．

Answer 1

f（x）为偶函数，
a0＝(1)/(π)

∫

π −π

x2dx＝(2π2)/(3)，
n≥1时，an＝(1)/(π)

∫

π −π

x2cosnxdx
=(1)/(nπ)

∫

π −π

x2dsinnx
=(1)/(nπ)(x2sinnx

|

π −π

−

2∫

π −π

xsinnxdx)
=(1)/(nπ)•(2)/(n)

∫

π −π

xdcosnx
=(2)/(n2π)(xcosnx

|

π −π

−

∫

π −π

cosnxdx)
=(2)/(n2π)(2πcosnπ−(sinnx)/(n)

|

π −π

)
=(−1)n(4)/(n2)，
f（x）=(π2)/(3)+

∞

n＝1

(−1)n(4)/(n2)cosnx，x∈[-π，π]．
令x=0，0=f（0）=(π2)/(3)+4

∞

n＝1

(1)/(n2)•（-1）ⁿ，
解得