椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上两点AB与中心O的连线相互垂直,则1/OA2+1/OB2等于?

Question

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上两点AB与中心O的连线相互垂直,则1/OA2+1/OB2等于?

Answer 1

设当直线OA斜率存在且不为0时,设方程为y=kx,
∵A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=(-1/k)x
设A（x1,y1）,B（x2,y2）
把y=kx代入x²/a²+y²/b²=1
得x1²=a²b²/(b²+a²k²)
∴y1²=k²a²b²/(b²+a²k²)
把y=(-1/k)/x代入x²/a²+y²/b²=1
得x2²=k²a²b²/(a²+b²k²)
∴y2²=a²b²/(a²+b²k²)
∴1/OA²+1/OB²=1/(x1²+y1²)+1/(x2²+y2²)
=1/{[a²b²/(b²+a²k²)]+[k²a²b²/(b²+a²k²)]}+1/{[k²a²b²/(a²+b²k²)]+[a²b²/(a²+b²k²)]}
=(a²+b²)/a²b²
当直线OA,OB其中一条斜率不存在时,则另一条斜率为0.此时1/OA²+1/OB²=(a²+b²)/a²b²
综上所述,1/OA²+1/OB²=(a²+b²)/a²b²