（2014•石景山区一模）设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y

Question

（2014•石景山区一模）设函数f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²+x-lnx（x＞0），∴f′(x)＝2x+1−(1)/(x)＝((2x−1)(x+1))/(x)，
当x∈(0 ， (1)/(2)) ， f′(x)＜0 ， x∈((1)/(2) ， +∞) ， f′(x)＞0，
∴f（x）的单调递减区间为(0 ， (1)/(2))，单调递增区间((1)/(2) ， +∞)．
（Ⅱ）f′(x)＝2x+a−(1)/(x)，∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，
即2x+a−(1)/(x)≤0对任意x∈（0，1]恒成立，∴a≤(1)/(x)−2x对任意x∈（0，1]恒成立，
令g(x)＝(1)/(x)−2x，∴a≤g（x）_min，
易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）_min=g（1）=-1．∴a≤-1．
（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），f′(x)＝2x+a−(1)/(x)，
切线的斜率k＝2t+a−(1)/(t)，又切线过原点k＝(f(t))/(t)，
(f(t))/(t)＝2t+a−(1)/(t)，即：t²+at-lnt=2t²+at-1，∴t²-1+lnt=0，
令g（t）=t²-1+lnt，g′(t)＝2t+(1)/(t)＞0，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，
又g（1）=0，所以方程t²-1+lnt=0有唯一解t=1．
综上，切点的横坐标为1．