已知y^2=4a(x-a)(a>0)且当x≥a时,S(x)=(x-3)^2+y^2的最小值为4,则实数a的取值?

Question

已知y^2=4a(x-a) (a>0)且当x≥a时,S(x)=(x-3)^2+y^2的最小值为4,则实数a的取值?

Answer 1

这个题目吧瞅着挺难的,其实只是它的表达方式太复杂
下面简化一下~
将y^2=4a(x-a)代入S(x)=(x-3)^2+y^2得
S(x)=(x-3)^2+4a(x-a)=x^2+（4a-6）x+（9-4a^2）
不难看出这是一个二次函数哦~
它的对称轴是x=3-2a（而且它的开口向上哦）
这样话最小值就好找了~
在看取值范围是x≥a,也不知道这个范围的最左端是在对称轴右边,还是在左边或者就在对称轴上~
需要下面讨论哦~
（1）假设在对称轴的右边即a＞3-2a即a＞1时,最小值就是S(a)=a^2+（4a-6）a+（9-4a^2）=4
解之得a=1或5
有a＞1故舍去1即a=5
（2）假设在对称轴的上即a=3-2a即a=1时,最小值为
S(1)=1^2+（4*1-6）*1+（9-4*1^2）=4成立
符合题意~
（3）假设在对称轴的左边即a＜3-2a即0＜a＜1时
最小值为S(3-2a)=（3-2a）^2+（4a-6）*（3-2a）+（9-4a^2）=4
解之得a=1或1/2又0＜a＜1故舍去1
则a=1/2
综上所述a=5或1或1/2