几何无图证明E为正方形ABCD的边BC上任意一点,点P在BC的延长线上,CF平分∠DCP,EF⊥AE,求证EF=AE

Question

几何 无图 证明
E为正方形ABCD的边BC上任意一点,点P在BC的延长线上,CF平分∠DCP,EF⊥AE,求证EF=AE

Answer 1

（1）证明：在边AB上截取AE=MC,连接ME．
正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE,
BE=AB-AE=BC-MC=BM,
∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°．
∵N是∠DCP的平分线上一点,
∴∠DCN=45°,∴∠MCN=135°．
在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,
∴△AEM≌△MCN,
∴AM=MN．
（2）结论AM=MN还成立
证明：在边AB上截取AE=MC,连接ME．
△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE,
BE=AB-AE=BC-MC=BM,
∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°．
∵N是∠ACP的平分线上一点,
∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120．
在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,
∴△AEM≌△MCN,
∴AM=MN．