已知△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径记为r，p=12（a+b+c），求证：△ABC面积S=rp．

Question

已知△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径记为r，p=(1)/(2)（a+b+c），求证：△ABC面积S=rp．

Answer 1

证明：如图， I是△ABC的内切圆，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，连接IA、IB、IC，
∵ I为△ABC的内切圆，
∴ID=IE=IF=r，
∵S_△AIB=(1)/(2)AB•ID，S_△CIB=(1)/(2)BC•IE，S_△AIC=(1)/(2)AC•IF，
∴S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC=(1)/(2)cr+(1)/(2)ar+(1)/(2)br=(1)/(2)r（a+b+c）=pr．