⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.(1)如题24﹣1图；若D是线段OP的中点

Question

⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AB 是直径，过 的中点 P 作⊙ O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D ，连接 AG ，   CP ， P B.

(1) 如题 24 ﹣ 1 图；若 D 是线段 OP 的中点，求∠ BAC 的度数；

(2) 如题 24 ﹣ 2 图，在 DG 上取一点 k ，使 DK = DP ，连接 CK ，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；

(3) 如题 24 ﹣ 3 图；取 CP 的中点 E ，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H ，连接 PH ，求证： PH ⊥ A B.

Answer 1

【 解析 】 (1) ∵ AB 为⊙ O 直径， ，

∴ PG ⊥ BC ，即∠ ODB =90 °，

∵ D 为 OP 的中点，

∴ OD = ，

∴ cos ∠ BOD = ，

∴∠ BOD =60 °，

∵ AB 为⊙ O 直径，

∴∠ ACB =90 °，

∴∠ ACB = ∠ ODB ，

∴ AC ∥ PG ，

∴∠ BAC = ∠ BOD =60 °；

(2) 由（ 1 ）知， CD = BD ，

∵∠ BDP = ∠ CDK ， DK = DP ，

∴△ PDB ≌△ CDK ，

∴ CK = BP ，∠ OPB = ∠ CKD ，

∵∠ AOG = ∠ BOP ，

∴ AG = BP ，

∴ AG = CK

∵ OP = OB ，

∴∠ OPB = ∠ OBP ，

又∠ G = ∠ OBP ，

∴ AG ∥ CK ，

∴四边形 AGCK 是平行四边形；

(3) ∵ CE = PE ， CD = BD ，

∴ DE ∥ PB ，即 DH ∥ PB

∵∠ G = ∠ OPB ，

∴ PB ∥ AG ，

∴ DH ∥ AG ，

∴∠ OAG = ∠ OHD ，

∵ OA = OG ，

∴∠ OAG = ∠ G ，

∴∠ ODH = ∠ OHD ，

∴ OD = OH ，

又∠ ODB = ∠ HOP ， OB = OP ，

∴△ OBD ≌△ HOP ，

∴∠ OHP = ∠ ODB =90 °，

∴ PH ⊥ A B.