(本题满分12分)如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D.(1)如图1,连接BD并延长BD交AC于点E,连接AD.①证明:△CDE∽△CAD;②若AB=2
(本题满分12分)
如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D.
(1)如图1,连接BD并延长BD交AC于点E,连接AD.
①证明:△CDE∽△CAD;
②若AB=2,AC= .求CD和CE的长;
(2)如图2,过点C作⊙O的另一条切线,切点为F,连结AF、BF,若OC= BF,求
的值.
分 析:
(1)由AC是⊙O的切线,得到∠1+∠BAD=90°,又由AB是⊙O的直径,得到∠B+∠BAD=90°,故有∠1=∠B,又由OB=OD,得到∠2=∠B,又因∠2=∠3,得到∠3=∠B,得到∠1=∠3,由∠C=∠C,得到△CDE∽△CAD;(2)在Rt△AOC中,算出OC,进而算出CD的长,由△CDE∽△CAD,得到,解出CE的长;(3)由△ABF∽△COA,得到,故,又OC=BF,AB=2r,OA=r,得到,得到BF=,OC=3r,在Rt△COA中,由勾股定理求出CA的长,再算.试题
解析:
(1)证明:∵AC是⊙O的切线,∴∠1+∠BAD=90°,又∵AB是⊙O的直径,∴∠B+∠BAD=90°,∴∠1=∠B,又∵OB=OD,∴∠2=∠B,又∵∠2=∠3,∴∠3=∠B,∴∠1=∠3,∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD;(2)在Rt△AOC中,OC=,∴CD=OC-OD=3-1=2,∵△CDE∽△CAD,∴,即,∴CE=;(3)由△ABF∽△COA,∴,∴,又OC=BF,AB=2r,OA=r(r为⊙O的半径),∴,∴BF=,OC=3r,在Rt△COA中,由勾股定理知:CA=,∴.
考点:
圆的综合题.
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