已知抛物线f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，求实数t的取值范围．

Question

已知抛物线f（x）=ax²+bx+(1)/(4)与直线y=x相切于点A（1，1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，有

f(1)＝a+b+(1)/(4)＝1

f′(1)＝2a+b＝1

⇒a=(1)/(4)，b=(1)/(2)．
因此，f（x）的解析式为f（x）=((x+1)/(2))2；（6分）
（Ⅱ）由f（x-t）≤x（1≤x≤9）得((x−t+1)/(2))2≤x（1≤x≤9），解之得
(√(x)−1)2≤t≤(√(x)+1)2（1≤x≤9）
由此可得
t≤[(√(x)+1)2]min=4且t≥[(√(x)−1)2]max=4，
所以实数t的取值范围是{t|t=4}．（12分）