已知函数f（x）=-x2+2x，x≥0x2-2x，x<0，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）-b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A.2B.3C.5D.8

Question

已知函数f（x）=

-x2+2x，x≥0

x2-2x，x<0

，若关于x的不等式[f（x）]²+af（x）-b²<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（　　）

A. 2

B. 3

C. 5

D. 8

Answer 1

函数f（x）=

-x2+2x，x≥0

x2-2x，x<0

，如图所示，
①当b=0时，[f（x）]²+af（x）-b²<0化为[f（x）]²+af（x）<0，
当a>0时，-a<f（x）<0，
由于关于x的不等式[f（x）]²+af（x）-b²<0恰有1个整数解，
因此其整数解为3，又f（3）=-9+6=-3，
∴-a<-3<0，-a≥f（4）=-8，
则8≥a>3，
a≤0不必考虑．
②当b≠0时，对于[f（x）]²+af（x）-b²<0，
△=a²+4b²>0，
解得：(-a-√(a2+4b2))/(2)<f（x）<(-a+√(a2+4b2))/(2)，
只考虑a>0，
则(-a-√(a2+4b2))/(2)<0<(-a+√(a2+4b2))/(2)，
由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多与一个整数解（例如，0，2），舍去．
综上可得：a的最大值为8．
故选：D．