设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*满足2Sn=an（an+1），且an≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an+1，n为奇数，3×2an−1+1，n为偶数，求数列{cn}的前2n项和T2n．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*满足2S_n=a_n（a_n+1），且a_n≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an+1，n为奇数，

3×2an−1+1，n为偶数

，求数列{c_n} 的前2n项和T_2n．

Answer 1

（Ⅰ）∵2S_n=a_n（a_n+1），
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
以上两式相减得2an＝

a

2 n

−

a

2 n−1

+an−an−1，
即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又当n=1时，由2S₁=a₁（a₁+1）及a₁≠0得a₁=1，
∵a_n≠0，∴当n≥2时，有a_n-a_n-1=1或a_n+a_n-1=0．
①当a_n-a_n-1=1时，数列{ a_n }是等差数列，其通项公式为a_n=n（n∈N^*）．
②当a_n+a_n-1=0时，an＝(−1)n−1.（n∈N^*）．
（Ⅱ）①当a_n=n（n∈N^*）．
得cn＝

n+1，n为奇数

3×2n−1+1，n为偶数

．
∴T_2n=（2+4+…+2n）+3（2¹+2³+…+2^2n-1）+n=n（n+1）+(3×2×(22n−1))/(4−1)+n=n²+2n-2+2²ⁿ⁺¹．
②当an＝(−1)n时，得到cn＝

−1，n为奇数

7，n为偶数

．
∴T_2n=n（-1+7）=6n．