设AD、BC是圆O的互相垂直的直径，E和F分别在劣弧AB，CA上，若AE和AF相等，直线DA和直线BE的交点为G，直线FA和直线DB的交点为H，求证：∠HGA是直角．

Question

设AD、BC是圆O的互相垂直的直径，E和F分别在劣弧

AB

，

CA

上，若

AE

和

AF

相等，直线DA和直线BE的交点为G，直线FA和直线DB的交点为H，求证：∠HGA是直角．

Answer 1

证明：连接AC、AE、CF、DE，如图所示：
∵AD、BC是圆O的互相垂直的直径，
∴AB=AC，AB⊥DE，∠CAD=∠BAD=∠BED=45°，
∵

AE

=

AF

，

AB

=

AC

，

BE

=

CF

，
∴∠BAE=∠CAF=∠BDE，
∵∠HAG=∠DAF=∠CAD+∠CAF=45°+∠CAF，∠HBG=∠BED+∠BDE=45°+∠BDE，
∴∠HAG=∠HBG，
∴H、G、A、B四点共圆，
∴∠HGA=∠HBA=90°．