已知数列an,bn,满足a1=2,2an=1+2anan+1,bn=an-1,求证数列bn/1是等差数列

Question

已知数列an,bn,满足a1=2,2an=1+2anan+1,bn=an-1,求证数列bn/1是等
差数列

Answer 1

做这样的题,应该先在草纸上把要证的结论写出来,化简一下,然后看看与已知条件有什么联系,
这样一来,你就知道从哪下手书写过程了.
｛1/bn｝是等差数列,就是 1/[a(n+1)-1]-1/(an-1) 为常数,设为 d ,
则 (an-1)-[a(n+1)-1]=d[a(n+1)-1]*(an-1) ,
展开得 an-a(n+1)=d*[a(n+1)*an-a(n+1)-an+1] ,
如果 d=1 ,那么式子就化为 2an=1+an*a(n+1) .
这不正是已知的等式么?（可惜你把已知条件打错了）
往后你该知道怎么写过程了吧?
算了,还是我帮你写出来吧.我好人做到底,记得加分哦.
由已知得 an-a(n+1)=an*a(n+1)-an-a(n+1)+1=(an-1)*[a(n+1)-1] ,
即 (an-1)-[a(n+1)-1]=(an-1)*[a(n+1)-1] ,
两边同除以 (an-1)*[a(n+1)-1] 得 1/[a(n+1)-1]-1/(an-1)=1 ,
即 1/b(n+1)-1/bn=1 ,
这说明数列｛1/bn｝是首项为 1/(a1-1)=1 ,公差为 1 的等差数列 .
（顺便可得 1/bn=n ,bn=1/n ,即 an-1=1/n ,所以 an=1+1/n=(n+1)/n）.