如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．（1）若∠D=90°，CD=6，AD=12，AB=18，求AE的长．（2）求证：AB=AF+CF．

Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．

（1）若∠D=90°，CD=6，AD=12，AB=18，求AE的长．
（2）求证：AB=AF+CF．

Answer 1

（1）

过点E作EN⊥AD，则EN∥AB，
∵点E是BC中点，
∴EN是梯形ABCD的中位线，
∴EN=(1)/(2)（CD+AB）=12，
在Rt△AEN中，AE=√(EN2+AN2)=6√(5)；
（2）证明：延长AE交DF的延长线于点M，

∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB＝∠MEC

BE＝CE

∠B＝∠MCE

，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+FC．