已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程．

Question

已知圆O的圆心在y轴上，截直线l₁：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l₂：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程．

Answer 1

设圆心M（0，b），半径R．圆M交L₁于AB两点．AB=8，
做MN⊥L₁，交L₁于N点．则N平分AB． AN=4，
连AM，则AM=R． 
|MN|=(|4b+3|)/(√(32+42))=(|4b+3|)/(5)，
|AN|²+|MN|²=R²=16+((4b+3)2)/(25)，
点M到直线L₂距离d=R（圆M与直线L₂相切），
d²=R²=((37−4b)2)/(25)，
∴16+((4b+3)2)/(25)＝((37−4b)2)/(25)，
16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），
8b=34-16×(25)/(40)=24，
b=3，
R²=((37−4×3)2)/(25)=25，
∴圆M的方程为：x²+（y-3）²=25．