四棱锥P-ABCD中面PDC⊥ABCD△PDC为等边三角形,ABCD为梯形∠DAB=60AD=DC=2AB=2,证BD⊥PC,求A到PBD的距离

Question

四棱锥P-ABCD中面PDC⊥ABCD△PDC为等边三角形,ABCD为梯形∠DAB=60AD=DC=2AB=2,证BD⊥PC,求A到PBD的距离

Answer 1

因为：AD＝2,AB＝1,∠DAB=60；
在△ABD中,由余弦定理得：BD^2=AD^2+AB^2-2AD*ABcos60=4+1-2*2*1*1/2=3;
因为：AB^2+BD^2=AD^2；所以△ABD为直角三角形；且∠DBA＝90；
所以BD⊥AB；因ABCD为梯形；所以BD⊥CD；
又因面PDC⊥ABCD,BD垂直两面的交线,所以BD⊥面PCD；所以BD⊥PC；
（2）过P向面ABCD作垂线,因面PDC⊥ABCD,△PDC为等边三角形；所以垂足落在CD的中点上,设为E点；因为DE＝1,PD＝2,所以PE＝√3；
因BD⊥面PCD；所以BD⊥PD；所以S△PDB＝1/2*2*√3=√3；而S△ABD＝1/2*1*√3=√3/2
在三棱锥P－ABD中,它的体积＝1/3*S△ABD*PE=1/3*S△PBD*h
所以得：h=√3/2;所以A到面PBD的距离为：√3/2