已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数

Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx，
（1）求证：f（x）≥x+1；
（2）设x₀＞1，求证：存在唯一的x₀使得g（x）图象在点A（x₀，g（x₀））处的切线l与y=f（x）图象也相切；
（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|(f(x)−1)/(x)-1|＜a成立．

Answer 1

（1）令F（x）=e^x-x-1，x∈R，
∵F'（x）=e^x-1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；
当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）_min=F（0）=0，
由最小值定义得F（x）≥F（x）_min=0即e^x≥x+1．
（2）g（x）在x=x₀处切线方程为y＝(1)/(x0)x+lnx0−1①
设直线l与y=e^x图象相切于点(x1，ex1)，则l：y＝ex1x+ex1(1−x1)②，
由①②得

(1)/(x0)＝ex1	(3)
lnx0＝ex1(1−x1)	(4)

，
∴lnx0−(x0+1)/(x0−1)＝0⑤
下证x₀在（1，+∞）上存在且唯一．
令G(x)＝lnx−(x+1)/(x−1)(x＞1)，G′(x)＝(x2+1)/(x(x−1)2)＞0，
∴G（x）在（1，+∞）上递增．
又G(e)＝(−2)/(e−1)＜0，G(e2)＝(e2−3)/(e2−1)＞0，G（x）图象连续，∴存在唯一x₀∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x₁．故得证．
（1）由（1）知(f(x)−1)/(x)−1＞0即证当a＞0时不等式e^x-1-x＜ax即e^x-ax-x-1＜0在（0，+∞）上有解．
令H（x）=e^x-ax-x-1，即证H（x）_min＜0，
由H'（x）=e^x-a-1=0得x=ln（a+1）＞0．
当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，
当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．
∴H（x）_min=H（ln（a+1））=a+1-aln（a+1）-ln（a+1）-1．
令V（x）=x-xlnx-1，其中x=a+1＞1
则V'（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0，
∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．
综上得证．