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已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).
题目详情
已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)证明:令y=-x,得:f(x)+f(-x)=f(0),
令x=y=0,,则f(0)=2f(0)⇒f(0)=0,
∴f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=…=8f(3),
又∵f(-3)=a⇒f(3)=-a⇒f(24)=-8a.
令x=y=0,,则f(0)=2f(0)⇒f(0)=0,
∴f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=…=8f(3),
又∵f(-3)=a⇒f(3)=-a⇒f(24)=-8a.
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