已知中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆C，其长轴长等于4，离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点E（0，1），问是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，

Question

已知中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆C，其长轴长等于4，离心率为(√(2))/(2)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点E（0，1），问是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可设椭圆的标准方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，（a＞b＞0）…（1分）
则由长轴长等于4，即2a=4，所以a=2．…（2分）
又离心率为(√(2))/(2)，所以c=√(2)，…（3分）
所以b²=a²-c²=2…（4分）
所求椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1…（5分）
（Ⅱ）假设存在这样的直线l：y=kx+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为F（x₀，y₀），
因为|ME|=|NE|，所以MN⊥EF，所以(y0−1)/(x0)•k＝−1(x0≠0)…①
（i）k=0，显然直线y=m（-√(2)＜m＜√(2)）符合题意；
（ii）下面仅考虑k≠0情形：
由直线方程代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，可得4k²+2＞m²…②…（7分）
则x₀=(x1+x2)/(2)=-(2km)/(1+2k2)，y0＝kx0+m＝(m)/(1+2k2)．…（8分）
代入①式得((m)/(1+2k2)−1)/(−(2km)/(1+2k2))•k＝−1，解得m=-1-2k²…（11分）
代入②式得4k²+2＞（-1-2k²）²，得−(√(2))/(2)＜k＜(√(2))/(2)(k≠0)．
综上（i）（ii）可知，存在这样的直线l，其斜率k的取值范围是（-(√(2))/(2)，(√(2))/(2)）…（13分）