O、H分别是锐角三角形ABC的外心与垂心,点D在AB上,AD=AH,点E在AC上,AE=AO.证明：DE=AE为什么AD=AH=c*cotA？

Question

O、H分别是锐角三角形ABC的外心与垂心,点D在AB上,AD=AH,点E在AC上,AE=AO
.证明：DE=AE
为什么AD=AH=c*cotA？

Answer 1

设AB=a,AC=b,BC=c,AE=AO=c/2sinA,AD=AH=c*cotA,所以有AD=2AEcosA,即可得出AD^2+AE^2-2*AE*AD*cosA=DE^2=AE^2,因此DE=AE.
假设DE上有点K,使得AK=AD,如果D,H,E共线,那么H应与K重合.因为角BAK=角BEA=180-2*A,要想H与K重合,则要角BAK+角B=90,因此要满足2*A-B=90.所以不是所有三角形满足DHE共线.