已知f（x）=（1+x）lnx，g（x）=a（1-x）．（1）是否存在实数a，使g（x）是f（x）在x=1处的切线？（2）若f（x）＜-2g（x）对?x∈（0，1）成立，求a的取值范围．

Question

已知f（x）=（1+x）lnx，g（x）=a（1-x）．
（1）是否存在实数a，使g（x）是f（x）在x=1处的切线？
（2）若f（x）＜-2g（x）对?x∈（0，1）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程 全称命题
专题：
计算题 导数的概念及应用 导数的综合应用
分析：
（1）求导f′（x）=lnx+1x+1，从而得到f（1）=0，f′（1）=2；从而求切线方程；（2）f（x）＜-2g（x）可化为（1+x）lnx+2a（1-x）＜0，从而可得-2a＞(1+x)lnx1-x对?x∈（0，1）成立，令h（x）=(1+x)lnx1-x，从而求导h′（x）=2lnx+1-x2x(1-x)2，再令F（x）=2lnx+1-x2x，求导F′（x）=2x+-2x2-(1-x2)x2=-(x-1)2x2＜0，从而求a的取值范围．

（1）∵f（x）=（1+x）lnx，f′（x）=lnx+1x+1；∴f（1）=0，f′（1）=2；故f（x）在x=1处的切线为y=2（x-1）；若g（x）是f（x）在x=1处的切线，则a=2；（2）f（x）＜-2g（x）可化为（1+x）lnx+2a（1-x）＜0；即-2a＞(1+x)lnx1-x对?x∈（0，1）成立；令h（x）=(1+x)lnx1-x，∴h′（x）=2lnx+1-x2x(1-x)2，令F（x）=2lnx+1-x2x，∵F′（x）=2x+-2x2-(1-x2)x2=-(x-1)2x2＜0，∴F（x）=2lnx+1-x2x在（0，1）上是减函数，且h′（1）=0，∴h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上是增函数，且h（1）→-2，∴-2a＞-2，即a＜1．
点评：
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．