∑[k=0,∞]C(k,N)C(n-k,M-N)=C(n,M)∑[k=0,n](1-p)^k=1/(1-(1-p))∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M)=1求教这些都是怎么推导出来的?

Question

∑[k=0,∞]C(k,N)C(n-k,M-N)=C(n,M)
∑[k=0,n](1-p)^k=1/(1-(1-p))
∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M)=1
求教这些都是怎么推导出来的?

Answer 1

第一题实质上就是第三题.它的实质推导很复杂,但你可以通过一个数学模型去理解它.
假设有M个零件,里面有N个次品.从这M个零件随机抽取n个零件,里面有k个次品的情况数就是
题目中的C(k,N)C(n-k,M-N),
令随机变量X为一次实验获得的次品数,而一次实验获得k个次品的概率就是P(X=k)=C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M),统计学上称X的分布为超几何分布.根据X的所有情况的概率相加要=1的要求,就有∑[k=0,n]P(X=k)=1=∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M)
第二问可以用高中的等比数列前n项和的公式算得,而那个公式的推导用了错位相减法.
而你给的答案好像是无穷项等比数列的结果,要在原来的前n项和公式上令n趋向正无穷
∑[k=0,∞](1-p)^k=首项/(1-公比)=1/(1-(1-p))=1/p