如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

Answer 1

（1）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形
∴AE=DC=1，又AB=2，
∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB＝√(2)
∴AD=CE=1，
则AC＝√(AD2+DC2)＝√(2)，
AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC又
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（2）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，
又PA=AD=1，
AC＝√(2)
∴PC＝√(3)PD＝√(2)
∴点D到PC的距离h′＝(S△PCD)/((1)/(2)•PC)＝(√(2))/(√(3))
在三棱锥P-ACD中，S△ADC＝(1)/(2)•CD•AD＝(1)/(2)，
S△PAC＝(1)/(2)•AC•PA＝(√(2))/(2)，
V_P-ACD=V_D-PAC；
∴点D到平面PAC的距离h＝(VP−ACD)/((1)/(3)•S△PAC)＝((1)/(3)•SADC•PA)/((1)/(3)•S△PAC)＝(1)/(√(2))
∴sinα＝(h)/(h′)＝(√(3))/(2)