如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；（Ⅱ）当k=12时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）当k取何值时，O在平面P

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）当k=(1)/(2)时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），则该三角形的重心坐标为：((x1+x2+x3)/(3)，(y1+y2+y3)/(3)，(z1+z2+z3)/(3))．）

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥PA．
又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）如图所示距离空间直角坐标系．
当k=(1)/(2)时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2√(2)，∴AP=4√(2)，
∴OP=√((4√(2))2−22)＝2√(7)．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2√(7)），
∴

PA

＝(0，−2，−2√(7))，

作业帮用户 2016-12-09

问题解析

（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用线面角公式sinθ＝|cos＜

n

，

PA

＞|=(|n•PA|)/(|n| |PA|)即可得出；
（Ⅲ）不妨设OB=2，则分别表示出点A、B、C的坐标，再利用AB=BC=2√(2)=kPA即可表示出点P的坐标，利用重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标，若满足O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC，利用向量的数量积与垂直的关系即可得出k的值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；三角形五心；直线与平面平行的判定．

考点点评：

熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、线面角公式sinθ＝|cos＜

n

，

PA

＞|=(|n•PA|)/(|n| |PA|)、通过建立空间直角坐标系及重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标、线面垂直的性质定理、向量的数量积与垂直的关系是解题的关键．

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