如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．（1）若∠BAC=90°，求AE的长；（2）若DF=0.7，求证：△ABC为直角三角形．

Question

如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．

（1）若∠BAC=90°，求AE的长；
（2）若DF=0.7，求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

（1）连接CE，
设AE=x，
∵AB=4，
∴BE=4-x，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE=4-x，
∵∠BAC=90°，AC=3，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=(7)/(8)，即AE=(7)/(8)．

（2）证明：设BD=y，则CD=y，
∵DF=0.7，
∴BF=y+0.7，CF=y-0.7，
∵AF⊥BC，
∴AB²-BF²=AC²-CF²=AF²，
∴4²-（y+0.7）²=3²-（y-0.7）²，
∴y=2.5，
∴BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△ABC为直角三角形．