已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程．（2）过定点（0，-3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）且满足x1x2+x

Question

已知一个动点P在圆x²+y²=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）过定点（0，-3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且满足(x1)/(x2)+(x2)/(x1)=(21)/(2)，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设M（x，y），动点P（x₁，y₁），
由中点的坐标公式解得x₁=2x-4，y₁=2y，
由x₁²+y₁²=36，得（2x-4）²+（2y）²=36，
∴点M的轨迹方程是（x-2）²+y²=9…（4分）
（2）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A(0，√(5))，B(0，-√(5))，
此时x₁=x₂=0，不合题意．…（6分）
当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，则

y=kx-3

(x-2)2+y2=9

，
消去y，得（1+k²）x²-（4+6k）x+4=0，x1+x2=(4+6k)/(1+k2)，x1x2=(4)/(1+k2)
由已知x12+x22=(21)/(2)x1x2⇒7k2-24k+17=0⇒k=1，k=(17)/(7)，经检验△>0．
综上：直线L为：x-y-3=0，17x-7y-21=0．…（12分）