如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2=BG•DH；（2）求证：CE=2DG；（3）求证：EF=2HG．

Question

如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．

（1）求证：AD²=BG•DH；
（2）求证：CE=√(2)DG；
（3）求证：EF=√(2)HG．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，
∵∠EAF=45°
∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，
∴∠BAG=∠AHD，
又∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴△ABG∽△HDA，
∴(AB)/(DH)=(BG)/(DA)，
∴BG•DH=AB•AD=AD²；

（2）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，
∴AC=√(2)AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAD，
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF，
∴∠EAC=∠GAD，
∴△EAC∽△GAD，
∴(CE)/(DG)=(AC)/(AD)=√(2)，
∴CE=√(2)DG；

（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，
∴(AE)/(AG)=(AC)/(AD)=√(2)，
同理得：△AFC∽△AHB，
∴(AF)/(AH)=(AC)/(AB)=√(2)，
∴(AE)/(AG)=(AF)/(AH)=√(2)，
∴(AE)/(AG)=(AF)/(AH)，
∵∠GAH=∠EAF，
∴△GAH∽△EAF，
∴(EF)/(GH)=√(2)，
∴EF=√(2)GH．