在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD．

Question

在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD．

Answer 1

作BE⊥AC，垂足为E，连结DE．
∵BE⊥AC，BD⊥AC，BE∩BD=B，
∴AC⊥面BDE，又DE⊂平面BDE，∴AC⊥DE，
∴∠DEB是平面ABC和平面ACD所成的二面角的平面角，
设DE=a，∵∠CAD=∠BAC=45°，∠DEA=∠BEA=90°，
∴AE=BE=a，AD=AB=√(2)a，
∵∠BAD=60°，∴BD=√(2)a，
∴BD²=BE²+DE²，∴BE⊥DE，
∴∠DEB=90°，
∴平面ABC⊥平面ACD．