如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒53个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒(5)/(3)个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的(1)/(2)？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

（1）∵直线PD⊥AC，
∴BC∥PD，
∴四边形BQPD的面积为：(1)/(2)（BQ+DP）×PC=(1)/(2)（8-2t+(4)/(3)t）×（6-t）
△ABC面积为：(1)/(2)×AC×BC=(1)/(2)×6×8=24，
∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的(1)/(2)时：(1)/(2)×24=（8-(2)/(3)t）×（6-t），
解得：t₁=9+3√(5)，t₂=9-3√(5)，
∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，
∴t≤4，
∴t₁=9+3√(5)不合题意舍去，
∴当t为9-3√(5)时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的(1)/(2)；

（2）存在，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴(AD)/(AB)=(AP)/(AC)，即(AD)/(10)=(t)/(6)，
∴AD=(5)/(3)t，
∴BD=AB-AD=10-

作业帮用户 2017-11-15

问题解析

（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形；
（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．

名师点评

本题考点：

四边形综合题．

考点点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

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