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若关于x的方程x4-16x3+(81-2a)x2+(16a-142)x+a2-21a+68=0的各根为整数,求a的值,并解此方程.
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若关于x的方程x4-16x3+(81-2a)x2+(16a-142)x+a2-21a+68=0的各根为整数,求a的值,并解此方程.
▼优质解答
答案和解析
∵x4-16x3+(81-2a)x2+(16a-142)x+a2-21a+68
=(x4-16x3+60x2)+(21-2a)x2+(16a-142)x+(a2-21a+68)
=(x2-6x)(x2-10x)+[(4-a)+(17-a)]x2-[10(4-a)+6(17-a)]x+(4-a)(17-a)
=(x2-6x)(x2-10x)+[(4-a)x2-10(4-a)x]+[(17-a)x2-6(17-a)x]+(4-a)(17-a)
=(x2-6x)(x2-10x)+(4-a)(x2-10x)+(17-a)(x2-6x)+(4-a)(17-a)
=[(x2-6x)(x2-10x)+(4-a)(x2-10x)]+[(17-a)(x2-6x)+(4-a)(17-a)]
=(x2-6x+4-a)(x2-10x)+(17-a)(x2-6x+4-a)
=(x2-6x+4-a)(x2-10x+17-a)
∴
,
∴①式判别式△1=(-6)2-4(4-a)=4(a+5)
②式判别式△2=(-10)2-4(17-a)=4(a+8)
∵方程的各根为整数
∴a+5和a+8应该是整数的平方
∴设n、m∈Z且n>m≥0,且有:
,
两式相减得:3=1×3=n2-m2=(n-m)(n+m)
∴
,
解得:
=(x4-16x3+60x2)+(21-2a)x2+(16a-142)x+(a2-21a+68)
=(x2-6x)(x2-10x)+[(4-a)+(17-a)]x2-[10(4-a)+6(17-a)]x+(4-a)(17-a)
=(x2-6x)(x2-10x)+[(4-a)x2-10(4-a)x]+[(17-a)x2-6(17-a)x]+(4-a)(17-a)
=(x2-6x)(x2-10x)+(4-a)(x2-10x)+(17-a)(x2-6x)+(4-a)(17-a)
=[(x2-6x)(x2-10x)+(4-a)(x2-10x)]+[(17-a)(x2-6x)+(4-a)(17-a)]
=(x2-6x+4-a)(x2-10x)+(17-a)(x2-6x+4-a)
=(x2-6x+4-a)(x2-10x+17-a)
∴
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∴①式判别式△1=(-6)2-4(4-a)=4(a+5)
②式判别式△2=(-10)2-4(17-a)=4(a+8)
∵方程的各根为整数
∴a+5和a+8应该是整数的平方
∴设n、m∈Z且n>m≥0,且有:
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两式相减得:3=1×3=n2-m2=(n-m)(n+m)
∴
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解得:
作业帮用户
2016-12-07
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