已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（a＞0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；（Ⅲ）证明：（1+124）（1+134）…（1+1n4）＜e（n∈N*，n≥2，其中无理数e=2.71828…

Question

已知函数f（x）=ax-1n（1+x²）（a＞0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，1n（1+x²）＜x；
（Ⅲ）证明：（1+(1)/(24)）（1+(1)/(34)）…（1+(1)/(n4)）＜e（n∈N^*，n≥2，其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝a−(2x)/(1+x2)=(ax2−2x+a)/(1+x2)，
∵a＞0，当△＞0，即0＜a＜1时，
方程ax²-2x+a=0有两个不等正根(1−√(1−a2))/(a)，(1+√(1−a2))/(a)，
∴由f′（x）＞0，得x＜(1−√(1−a2))/(a)，或x＞(1+√(1−a2))/(a)，
由f′（x）＜0，得(1−√(1−a2))/(a)＜x＜

1+√(作业帮用户2017-10-18问题解析（Ⅰ）由f′(x)＝a−(2x)/(1+x2)=(ax2−2x+a)/(1+x2)，利用导数性质能判断函数f（x）的单调性．（Ⅱ）令g（x）=x-ln（1+x2），得g′(x)＝1−(2x)/(1+x2)=((x−1)2)/(1+x2)≥0，由此利用导数性质能证明当x＞0时，1n（1+x2）＜x．（Ⅲ）ln（1+x2）＜x，利用累加法能证明（1+(1)/(24)）（1+(1)/(34)）…（1+(1)/(n4)）＜e（n∈N*，n≥2）．名师点评本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法、构造法、导数性质的合理运用．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)