已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+1f(x)，讨论F（x）的单调性，并证明你的结论．

Question

已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+(1)/(f(x))，讨论F （x）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

在R上任取x₁、x₂，设x₁＜x₂，
∴f（x₂）＞f（x₁），
F(x2)−F(x2)＝[f(x2)+(1)/(f(x2))]−[f(x1)+(1)/(f(x1))]
=[f(x2) −f(x1) ][1−(1)/(f(x1) f(x2))]
∵f（x）是R上的增函数，且f（5）=1，
∴当x＜5时0＜f（x）＜1，而当x＞5时f（x）＞1；
①若x₁＜x₂＜5，则0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
∴1−(1)/(f(x1) f(x2))＜0，
∴F（x₂）＜F（x₁）；
②若x₂＞x₁＞5，则f（x₂）＞f（x₁）＞1，
∴f（x₁）f（x₂）＞1
∴1−(1)/(f(x1)f(x2))＞0
∴F（x₂）＞F（x₁）
综上，F（x）在（-∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数