已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=122（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2；（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（

Question

已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12√(2)
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF²=OE²+AF²；
（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．

Answer 1

（1）连接OC，作CM⊥OA于点M，如图1所示．

∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=12．
∵点C为线段AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴△OCA为等腰直角三角形，
又∵CM⊥OA，
∴CM=OM=MA=(1)/(2)OA=6．
故点C的坐标为（6，6）．
（2）证明：连接OC，在OB上截取OM=AF，连接CM、ME，如图2所示．

∵△AOB、△OCA、△OCB均为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=∠BOC=45°，OC=AC．
在△ACF和△OCM中，

OM=AF

∠A=∠MOC

OC=AC

，
∴△ACF≌△OCM（SAS），
∴CM=CF，∠OCM=∠ACF．
∵∠ACO=∠ACF+∠ECF+∠OCE=90°，∠ECF=45°，
∴∠ACF+∠OCE=45°=∠OCM+∠OCE=∠ECM=∠ECF．
在△ECF和△ECM中，

EC=EC

∠ECM=∠ECF=45°

CM=CF

，
∴△ECF≌△ECM（SAS），
∴ME=EF．
在Rt△MOE中，∠MOE=90°，
∴EF²=ME²=OE²+OM²=OE²+AF²．
（3）过点C作CN⊥OA于点N，如图3所示．

设AF=x=OM，则EF=OA-OE-AF=12-3-x=9-x=EM，
由（2）可得：（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴OF=OA-AF=12-4=8．
∵△OCA为等腰直角三角形，
∴CN=ON=(1)/(2)OA=6，NF=OF-ON=8-6=2．
在Rt△CNF中，∠CNF=90°，CN=6，NF=2，
∴CF=√(CN2+NF2)=2√(10)．