（2014•随州模拟）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AC=3，OC=1，BD=4时，求BC的长．

Question

（2014•随州模拟）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当AC=3，OC=1，BD=4时，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；

（2）过D作DE⊥BC于E，
∵DC=DB，
∴CE=BE=(1)/(2)BC，
∵∠ACO=∠DCE，∠AOC=∠DEC=90°，
∴△AOC∽△DEC，
∴(AC)/(OC)=(CD)/(EC)=(BD)/(CE)，
∵AC=3，OC=1，BD=4，
∴CE=(BD•OC)/(AC)=(4×1)/(3)=(4)/(3)，
则BC=2CE=(8)/(3)．