已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=3+log4an，设Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|，求Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=3+log₄a_n，设T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求T_n．

Answer 1

（1）由a_n+S_n=1，得a_n+1+S_n+1=1，
两式相减，得a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．
∴2a_n+1=a_n，即a_n+1=(1)/(2)a_n．
又n=1时，a₁+S₁=1，∴a₁=(1)/(2)．又(an+1)/(an)=(1)/(2)，
∴数列{a_n}是首项为(1)/(2)，公比为(1)/(2)的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=(1)/(2)•（(1)/(2)）^n-1=（(1)/(2)）ⁿ．
（2）b_n=3+log₄（(1)/(2)）ⁿ=3-(n)/(2)=(6−n)/(2)．
当n≤6时，b_n≥0，T_n=b₁+b₂+…+b_n=(n(11−n))/(4)；
当n＞6时，b_n＜0，
T_n=b₁+b₂+…+b₆-（b₇+b₈+…+b_n）
=(6×5)/(4)-[（n-6）（-(1)/(2)）+((n−6)(n−7))/(2)•（-(1)/(2)）]
=(n2−11n+60)/(4)．
综上，T_n=

(n(11−n))/(4)(n≤6)

(n2−11n+60)/(4)(n≥7)

．