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cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1,求证α+β+γ
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cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1,求证α+β+γ
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答案和解析
设对角线为AC1长为a,∠AC1B=α,∠AC1D=β,∠AC1A1=γ,则acosα,acosβ,acosγ分别代表长方体ABCD -A1B1C1D1的三条对应边,a²cos²α+a²cos²β+a²cos²γ=a²,cos²α+cos²β+cos²γ=1,cos∠ACB=BC/AC,cosα=√(BC²+CC1²)/√(AC²+CC1²),∵BC＜AC,∴BC²＜AC²,BC²CC1²＜AC²CC1²,BC²CC1²+BC²AC²＜AC²CC1²+BC²AC²,BC²/AC²＜(BC²+CC1²)/(AC²+CC1²),BC/AC＜√(BC²+CC1²)/√(AC²+CC1²),则cos∠ACB＜cosα,α＜∠ACB,同理可证β＜∠ACD,α+β＜∠ACB+∠ACD=π/2,∵γ是直角△中的锐角,∴γ＜π/2,则α+β+γ
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