（2009•武汉）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，ACAB＝2时，如图2，求OFOE的值；

Question

（2009•武汉）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC的中点，(AC)/(AB)＝2时，如图2，求(OF)/(OE)的值；
（3）当O为AC边中点，(AC)/(AB)＝n时，请直接写出(OF)/(OE)的值．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．

（2）过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=(1)/(2)AB，OA=OC=(1)/(2)AC，
而(AC)/(AB)＝2，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即(OF)/(OE)=2；

（3）(OF)/(OE)=n．