抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AF⊥BF，弦AB中点M在准线l上的射影为M′，则|MM′||AB|的最大值为（）A．22B．2C．223D．22

Question

抛物线y²=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AF⊥BF，弦AB中点M在准线l上的射影为M′，则(|MM′|)/(|AB|)的最大值为（　　）

A．2√(2)
B．√(2)
C．(2√(2))/(3)
D．(√(2))/(2)

Answer 1

设AF=a，BF=b，由抛物线定义，知：2|MM′|=a+b，即|MM′|=(a+b)/(2)，
∵AF⊥BF，
∴由余弦定理，得：
|AB|²=a²+b²-2abcos90°=（a+b）²-2ab，
∵a+b≥2√(ab)，
∴2ab≤((a+b)2)/(2)，
∴|AB|²=（a+b）²-2ab≥((a+b)2)/(2)，
∴|AB|≥(√(2))/(2)（a+b）．
∴(|MM′|)/(|AB|)的最大值=((a+b)/(2))/((√(2))/(2)(a+b))=(√(2))/(2)．
故选：D．