已知双曲线x2a2-y2b2=1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．3B．233C．5D．52

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（　　）

A．√(3)
B．(2√(3))/(3)
C．√(5)
D．(√(5))/(2)

Answer 1

由题意知圆的方程为（x+a）²+y²=a²，
双曲线的一条渐近线方程为y=(b)/(a)x，
联立

(x+a)2+y2＝a2

y＝(b)/(a)x

，
消去y，并整理，得：c²x²+2a³x=0，
设渐近线与圆交于B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-(2a3)/(c2)，x₁x₂=0，
∵实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线
分为弧长为1：2的两部分，
∴|BC|=√(a2+a2−2a2•cos120°)=√(3)a，
∴√((1+(b2)/(a2))•(4a6)/(c4))=√(3)a，
∴(c2)/(a2)•(4a6)/(c4)=3a²，
∴2a=√(3)c，∴e=(2)/(√(3))=(2√(3))/(3)．
故选：B．