如果椭圆x236+y29＝1的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4B．14C．-1D．−14

Question

如果椭圆(x2)/(36)+(y2)/(9)＝1的弦AB被点M（x₀，y₀）平分，设直线AB的斜率为k₁，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k₂，则k₁•k₂=（　　）

A．4
B．(1)/(4)
C．-1
D．−(1)/(4)

Answer 1

设直线AB方程为y=k₁x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程并整理得：
（1+4k₁²）x²+8k₁bx+4b²-36=0，
x₁+x₂=-(8k1b)/(1+4k12)，
又中点M在直线上，
∴(y1+y2)/(2)=k₁（(x1+x2)/(2)）+b，
从而得弦中点M的坐标为（-(4k1b)/(1+4k12)，(b)/(1+4k12)），
∴k2＝−((b)/(1+4k12))/((4k1b)/(1+4k2))=-(1)/(4k1)，
∴k₁k₂=-(1)/(4)．
故选D．