已知F1、F2是椭圆x2100+y264=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．（1）求PF1•PF2的最大值．（2）若∠F1PF2=π3，求△F1PF2的面积．

Question

已知F₁、F₂是椭圆(x2)/(100)+(y2)/(64)=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
（1）求PF₁•PF₂的最大值．
（2）若∠F₁PF₂=(π)/(3)，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

（1）在椭圆(x2)/(100)+(y2)/(64)=1中，a=10，
根据椭圆的定义得PF₁+PF₂=20，
∵PF₁+PF₂≥2√(PF1•PF2)，
∴PF₁•PF₂≤（(PF1+PF2)/(2)）²=（(20)/(2)）²=100，
当且仅当PF₁=PF₂=10时，等号成立；
∴PF₁•PF₂的最大值为100； …（4分）
（2）设PF₁=m，PF₂=n（m>0，n>0），
根据椭圆的定义得m+n=20；
在△F₁PF₂中，由余弦定理得PF

2

1

+PF

2

2

-2PF₁•PF₂•cos∠F₁PF₂=F₁F

2

2

，
即m²+n²-2mn•cos(π)/(3)=12²；
∴m²+n²-mn=144，即（m+n）²-3mn=144；
∴20²-3mn=144，即mn=(256)/(3)；
又∵S△F₁PF₂=(1)/(2)PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=(1)/(2)mn•sin(π)/(3)，
∴S△F₁PF₂=(1)/(2)×(256)/(3)×(√(3))/(2)=(64√(3))/(3)．…（10分）