（文科）设A、B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点，并且|AB|=20，满足OP=OA+OB．

Question

（文科）设A、B分别是直线 y=(25)/(5) x 和 y=-(25)/(5) x 上的两个动点，并且 |

AB

|=

20

，满足

OP

=

OA

+

OB

．（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

（λ≠1），求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）设P（x，y），
由题可令 A( x 1 ，(25)/(5) x 1 ) ， B( x 2 ，-(25)/(5) x 2 ) ，
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x= x 1 + x 2

y=(25)/(5) ( x 1 - x 2 ).

即

x 1 + x 2 =x

x 1 - x 2 =(5)/(2) y.

又∵ |

AB

|=

20

，
∴ ( x 1 - x 2 ) 2 +(4)/(5) ( x 1 + x 2 ) 2 =20 ，即有 (5)/(4) y 2 +(4)/(5) x 2 =20 ．
∴轨迹C的方程为 (x2)/(25) +(y2)/(16) =1
（2）设N（s，t），M（x，y），
则由

DM

=λ

DN

可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲线C上，
∴

(s2)/(25) +(t2)/(16) =1

(λ2 s2)/(25) +((λt-16λ+16)2)/(16) =1

消去s得， (λ2 (16- t2 ))/(16) +((λt-16λ+16)2)/(16) =1 ．
∵λ≠0且λ≠1，
∴ t=(17λ-15)/(2λ)
又∵|t|≤4，
∴ |(17λ-15)/(2λ) |≤4 ，解得 (3)/(5) ≤λ≤(5)/(3) （λ≠1）
故实数λ的取值范围为 (3)/(5) ≤λ≤(5)/(3) （λ≠1）．