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已知等比数列{an}的公比q>1,前n项和为Sn,并且满足a2+a3+a4=28,a3+2是a2和a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn>254-n•2n+1成立的正整数n的最
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已知等比数列{an}的公比q>1,前n项和为Sn,并且满足a2+a3+a4=28,a3+2是a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anlog
an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn>254-n•2n+1成立的正整数n的最小值.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anlog
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▼优质解答
答案和解析
(1)依题意有2(a3+2)=a2+a4,
又a2+a3+a4=28,解得3=8.
所以a2+a4=20.
于是有
,
解得
或
,
又{an}是递增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n.
(2)bn=anlog
an=2n•log
2n=-n•2n,
-Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,
-2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1,
相减可得Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1,
由Sn>254-n•2n+1,可得2n+1>256=28,
即为n+1>8,即n>7,
则n的最小值为8.
又a2+a3+a4=28,解得3=8.
所以a2+a4=20.
于是有
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解得
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又{an}是递增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n.
(2)bn=anlog
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-Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,
-2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1,
相减可得Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2(1-2n) |
1-2 |
由Sn>254-n•2n+1,可得2n+1>256=28,
即为n+1>8,即n>7,
则n的最小值为8.
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