在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a=2sinA，cosBcosC+2ac+bc＝0．（Ⅰ）求边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a=2sinA，(cosB)/(cosC)+(2a)/(c)+(b)/(c)＝0．
（Ⅰ）求边c的大小；  
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵(cosB)/(cosC)+(2a)/(c)+(b)/(c)=0，
∴ccosB+2acosC+bcosC=0，
由正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，
即sin（B+C）+2sinAcosC=0，
整理得：sinA+2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴cosC=-(1)/(2)，
∴C=(2π)/(3)，
∴c=(asinC)/(sinA)=√(3)；
（Ⅱ）∵c=√(3)，cosC=-(1)/(2)，
∴cosC=-(1)/(2)=(a2+b2−3)/(2ab)，
∴a²+b²+ab=3，
∵a²+b²≥2ab，
∴3ab≤3，
∴S_△ABC=(1)/(2)absinC≤(√(3))/(4)，
则△ABC面积的最大值为(√(3))/(4)．